韩信巧点兵 （李向东）中国古代数学的解法，太有才了！

中国古代数学书《章丘兼算经》中有这样一道题，这也是著名的百鸡百钱问题。 大致思路是：1只公鸡值5，1只母鸡值3，3只小鸡值1。今天我有100元买100只鸡。 我应该购买多少只公鸡、母鸡和小鸡？

2、和尚吃馒头

一百个馒头一百个和尚，高僧三人，小和尚三人，各一个，高僧和高僧各有多少个？

这是明代程大为《算术通宗》中所载的歌谣式算术题之一。 由于它相当有趣，至今仍深受民间喜爱，并被许多国家收录在书籍中。 它的解法代表了一类问题的解法，现在还是有必要学习它的解法。

这道题的意思是：有100个馒头，有100个和尚。 大和尚每人吃3个包子，三个小和尚各吃1个包子。 问高僧、小僧各有多少人？

3.李白买酒

中国古代数学书里有一个有趣的问题，是用打油诗的形式写的。 内容是李白买酒的事。

无事可做的走在街上，提着壶买酒，

遇到店就付双倍，见花就喝一桶。

三遇店花，一壶酒尽饮。

壶里原来有多少酒？

李白是我国唐代伟大的诗人。 他喜欢喝酒。 这个问题是根据李白喜欢喝酒的事实而编出来的。 当然，实际情况可能并非如此。

这题的意思是：李白本来壶里有一些酒，每次遇到酒馆，就把壶里的酒加倍； 每见花，便饮酒作诗，喝一斗。 如此反复三遍，他终于把壶里的酒喝光了。 问李白壶里原来有多少酒？

4.利润不足

在介绍“盈亏问题”之前，我先讲一个杨失考官的故事。

杨孙是我国唐代一位清正廉洁的官员。 有一次，某个部门的两名小官员轮流提拔，但只能选拔其中一名。 经过考察对比他们的资历、职位、政绩，发现两人相差无几，很难区分。 谁应该晋升？ 负责这项工作的官员感到很为难，一时拿不定主意，就去向杨孙请示。 听完介绍，杨孙想了半天，终于想出了一个办法。 他说：“做事最需要的技能之一就是计算，现在我就给他们出一道计算题，考验他们的计算能力。” 问题是这样的：

“黄昏时，有人在森林里散步，无意中听到几个小偷在分割赃物，这些东西很可能是布匹。听到小偷说，如果每人分成6块，还剩5块；如果每人分成6块，还剩下5块。被分成7块，只少了8块布，盗贼们分了多少块布？

杨孙把问题告诉了两位考生，并要求他们当场把问题写下来并在大厅的石阶上计算。 与此同时，杨孙也宣布：“谁先算出正确答案，谁就晋级。”

这时，一名店员给出了正确答案：“小偷有13个，布匹有83块。” 于是，他立即就被宣布升职。 杨孙也因此获得了诚实、公平、任人唯贤的良好声誉。

听完主考官杨生的故事，回过头想想，这个小官员是如何计算出正确结果的呢？

5.借马分马

从前，阿拉伯有一位老牧羊人。 临死前，他把三个儿子叫到面前，说道：“我死后不会给你们留下任何遗产，只有十一匹马。大儿子得到一半，次子得到四分之一。” ，老者是三分之一和六分之一。 但你不可以杀或卖这匹马，你可以将它分给你们。”

6.一起赚钱

以下是三兄弟一起赚钱的有趣故事：

从前，一家三兄弟为了谋生而长期背井离乡。 为了维持生计，为了年迈的父母，我不得不做各种辛苦的工作。 我能做些什么？

有一天，二哥见弟弟实在是太辛苦了，就对他说：“你少干点活，只要你挣我一半的钱就可以了。”

站在一旁的大哥看到二哥对三哥的体贴，深受感动，然后说道：“我想我还要多努力，我每天赚的钱一定要达到两个哥的总和。”你们的结合。”

就这样，三人辛苦了几个月。 从他们按照承诺的标准赚钱那天起，就攒了三千多铜钱回家过年了。

只赚这么点钱，本来并不算什么，但这却让老父亲很高兴。 孩子们把得到的铜币都放在盆里，看上去闪闪发亮。

老三随手从盆里拿出了一些铜钱，放在盘子里，端到了父亲面前，让老人高兴极了。 老二拿了一个碗，从盆里抓起一些铜钱，放进去，拿给父亲看。 父亲笑着问：“那么，你们三个谁赚的钱最多呢？”

兄弟俩还没说话，老三就叽叽喳喳地说：“只是我挣的钱很少，他们总说我年轻，不让我多干活……就是这样，我挣的钱只有一个——第六，大哥是二分之一，二哥是三分之一。”

“哦，我懂。” 老人还是和年轻时一样风趣、爱开玩笑。 他对老三点了点头，说道：“盘里的铜钱给我六分之一。”

“还有你，”老爷子指着老二说道，“把碗里的铜钱拿出来三分之一，给我。”

最后，父亲对大儿子说：“把盆里剩下的铜钱给我一半吧！”

三个儿子都答应了，老人就把三个儿子送来的三枚铜钱混合在一起，分成三等份。 他把三个儿子叫了过来，说道：“嘿，你们三个各拿一份，放到各自的容器里！”

老三把自己的那份放在盘子里，数了数，疑惑地嘀咕道：“奇怪了，这些铜币不是和我赚的钱一样吗？”

这时，老二又往碗里放了一份，惊讶地自言自语道：“不对，现在碗里的铜钱数量和我挣的钱正好相符。”

当然，老板不用数。 他的那份和盆里剩下的钱一定是他赚的钱。 他想：既然盘子里和碗里的铜钱数量正是他们各自赚的钱，那么剩下的肯定也正是我赚的钱。

兄弟三人疑惑地看着自己的容器：“怎么这么巧？”

是的，就是这么巧合。 那么，三兄弟总共至少赚了多少铜币呢？

7.诗式数学

我国明代学者程大为有一首咏荷诗，这实际上是一个数学问题。 该诗如下：

平平湖的水清澈见底，半尺高处长着红莲。

站在泥泞中，一尘不染，突然被吹到了清澈的水面上。

渔夫见状，连忙向前走去。 这朵花距离原来的位置有两英尺远。

如果你能数数，请解决问题。 怎么知道湖的深度？

8.毛利考官

明朝万历年间，一位在中国经商多年的日本人毛利茂夫来到山清水秀的安徽休宁县。 休宁是我国明代著名数学家程大位的故乡。 毛利茂夫早就听说程大伟善于谋划，但从未亲自拜访过他，所以不知道真相。 那天，我在街上碰见程先生帮小银匠分金，所以他不肯放过这个结识的机会。 他邀请程老爷子进酒馆，以表达自己的仰慕之情。 然后他用算术歌来暗中考验程大为。 听听毛利人的口号：

“酒楼里可闻诵经声，此酒名为“騨”（读作“lí”，一种淡酒），酒味浓醇。

一瓶好酒，可以醉三个人； 三瓶淡酒，一人醉。

一共喝了十九瓶酒，醉了三十三个客人。

试问智者若能成良学者，酒得几多？ ”

程先生闻言，微微一笑，答道：“好酒十瓶，稀酒九瓶。”

这时，酒馆门口正好有两个卖水果的商贩。 毛利人再次高呼：

“九百九十九分，甜苦果都可以买一千。

甜果九分十一分，苦果七分四分。

甜果和苦果各有多少，价格是多少？ ”

程大伟稍稍算了一下，道：“六百五十七颗甜果，值八百零三分；三百四十三颗苦果，值一百九十六分。”

毛利心中暗暗惊讶。 他环顾四周，看到墙上挂着一幅画。 画面中，有一长排盐船，首尾相连，他的脑海中浮现出了一个好问题。 然后他高呼：

“四千三百五十盐，船只大小应并肩（即船只数量相等）。

五百盐可以装三艘大船，三百盐可以装四艘小船。

有多少艘船？ 每艘船载运多少盐？ ”

程大位哈哈大笑，回答道：“大船十八艘，载盐三千吨；小船十八艘，载盐一千三百五十吨。”

问答到这里，毛利茂夫对他非​​常佩服，决定拜程大为为师，向他学习“算法统一”。 从此，中国数学家程大为又多了一名留学生。 森繁夫学成回国后，大力推广程大为的算术，并将《算法统一》翻译成日本刊物。 从此，中国古代算计的光芒照耀在异族帮的土地上。

9.韩信发令出兵

民间传说有一个故事——“韩信点兵”。

秦朝末年，楚汉交战。 有一次，韩信派兵一千五百人与楚王大将李封作战。 经过一番苦战，楚军大败，退到营中。 汉军也伤亡四五百人，韩信于是整顿部队，返回大本营。 到了一个山坡上，突然有后军来报楚军骑兵追来。 只见远处尘土飞扬，杀声震天。 汉军本来就已经很疲惫了，但此时军中却传来一阵哗然。 韩信的部队到了坡顶，见敌军马匹不足五百，急忙命令部队迎敌。 他命令士兵们排成三人一排，而士兵们又多了两个。 然后他命令战士们排成5人的排，战士们又多了3人。 然后他命令士兵们组成7人的排，还有2名士兵。 韩信立即向将士们宣布：我军有勇士一千零七三人，敌军不足五百人，我们居高临下，可以以数量和数量击败敌人。 汉军本来就对自己的主帅深信不疑，现在更加相信韩信是“下凡之神”，是“妙计”。 于是士气大振。 一时间，旗帜飘扬，锣鼓喧天。 汉军步步高进，楚军大乱。 此战不久，楚军溃逃。

韩信是如何通过交换队列和三余来快速计算出士兵总数的呢？

事实上，韩信根本不是“下凡之神”，也没有什么“神算”。 他能计算得又快又准，因为他掌握了解决这类问题的方法和技巧。

这类问题就是著名的《孙子经》和《中国剩余定理》解决的问题。

中国古代数学巨著《孙子算经》中，提出了举世闻名的“物不可数”的问题。 原文是：

“今天有一些东西我不知道数量。当我数三三时，还剩下两个。当我数五五时，还剩下三个。当我数七七时，还剩下两个。什么是物体的几何形状？”

书中也给出了它的解决方案。 韩信根据这道题的解，计算出了确切的士兵数量。

13．田忌赛马

“田忌赛马”斗智问题是现代数学新分支博弈论中最古老的“博弈现象”。

据《史记》记载，战国时期的齐王齐威王喜欢与大臣们赛马打赌。 有一次，齐王找到大将田忌，要每场赛马与田忌赌三匹马，一千两金。

双方商定的比赛规则是：每人从上、中、下三个等级中选择一匹马。 每匹马参加比赛，并且只参加一次。 这样，将进行连续三场比赛，并选出每场比赛的胜者。 胜者千金，败者失千金。

当时的情况是，大家的高档马比中档马好，中档马比低档马好； 而与齐王饲养的马匹相比，田忌饲养的马匹在各个级别上都稍逊一筹。 从这一点来看，田忌明显处于劣势，想要获胜似乎有些异想天开。

在比赛中，田忌的策略是用上品马对抗齐王的上品马，用中品马对抗齐王的中品马，用下品马对抗齐王的下品马。 因此，田忌的马每场比赛都“慢半拍”。 连输三局，田忌赔了三千金。

齐王很高兴，经常请田忌赛马，希望能赢得金牌。 然而田忌屡战屡败，十分不高兴。

后来，齐王再次请田忌赛马。 正当田忌暗自思考时，他将此事告诉了好友孙膑。 孙膑给田忌出了一个主意。 谁也没想到，这场比武在孙膑的谋划下，田忌竟然反败为胜，夺得了齐王千金。

原来，孙膑对这次赛马做了这样的安排：第一场比赛，让田忌把最好的辔头和鞍子套在下等马身上，作为上等马与齐王的上等马较量。马。 当然，比赛的结果是输了。 齐王在这场比赛中获得了千金。

第二局和第三局，孙膑分别让田忌的上、中马对阵齐王的中、下马。 因此，从第二局开始，局势急转直下。 反而齐王连输两局，赔了两千金。

综上所述，田忌一输二胜，以二比一反败为胜。 算算赌注，田忌当然赢了一千金。

10.王国玉玺

相传某朝皇帝有一块毕达哥拉斯白玉，钩长三寸，缕长四寸，弦长五寸。 他想把棱角削成圆形，做成一枚玉玺，传给国家。 他下令全国招募数学家，计算玉玺的最大长度和直径。 当时有一个聪明人算出直径正好是二寸，于是就得到了官职。

在魏六徽的《算术九章》中，我们可以看到这个问题，称为“毕达哥拉斯容元”。

在古书中，由于这个圆的直径等于它的外接正方形的边长，所以被称为“黄正方形”。 这道玉印题中的数字——黄方上有两个，钩上有三个，绳上有四个韩信巧点兵，绳上有五个——恰好是四个连续的整数，这也是一件很奇怪的事情。

这个“毕达哥拉斯圆”问题，今天只有初中数学知识的人就可以完美解决，但对于古人来说却并不容易。 清朝人吴程写有《海镜一角》一书，推导出十种不同的寻找“黄方”的方法。 这十种方法可能没有多少人知道。